¿Qué es, para qué sirve y cómo es la derivación?
Conviene separar dos palabras:
- Derivación: es el procedimiento matemático que hacemos.
- Derivada: es el resultado de ese procedimiento.
La idea fundamental es muy sencilla:
La derivada nos dice qué tan rápido está cambiando algo. Gráficamente, nos da la pendiente de la recta tangente a una función en cada punto.
1. ¿Qué es la derivación?
Supongamos que tenemos:
\[ f(x)=x^2 \]
Esta función produce una curva en el plano cartesiano.
Si escogemos un punto, por ejemplo \(x=2\):
\[ f(2)=2^2=4 \]
Tenemos el punto:
\[ P=(2,4) \]
Ahora imaginemos una recta que toca la curva justamente en ese punto y sigue su dirección instantánea. Esa es la recta tangente.
La derivada nos permite conocer la pendiente de esa recta.
Derivamos:
\[ f(x)=x^2 \]\[ \boxed{f'(x)=2x} \]
Y evaluamos en \(x=2\):
\[ f'(2)=2(2)=4 \]
Por tanto:
\[ \boxed{m=4} \]
Es decir, en el punto \((2,4)\), la función tiene pendiente 4.
2. ¿Para qué sirve?
La derivada sirve para estudiar cambios.
Por ejemplo, si tenemos la posición de un automóvil:
\[ s(t) \]
su derivada:
\[ s'(t) \]
nos indica qué tan rápido cambia su posición, es decir, su velocidad instantánea.
Si derivamos nuevamente:
\[ s''(t) \]
obtenemos cómo cambia la velocidad: la aceleración.
El mismo concepto aparece en economía, ingeniería, administración, física, biología y muchas otras áreas. Podemos estudiar qué tan rápido cambian costos, ventas, ganancias, temperaturas, poblaciones, distancias, velocidades, concentraciones, etc.
3. ¿Cómo debemos entender una derivada gráficamente?
Esta es la parte que quiero destacar especialmente para nuestro taller.
Tenemos:
\[ \boxed{y=f(x)} \]
Esta es la función original y es la que dibujamos en el plano cartesiano.
Escogemos un valor:
\[ x=a \]
Entonces obtenemos el punto:
\[ P=(a,f(a)) \]
La derivada evaluada allí:
\[ \boxed{f'(a)} \]
es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto.
Por eso:
| Valor de la derivada | ¿Qué vemos gráficamente? | ¿Qué significa? |
|---|---|---|
| \(f'(a)>0\) | ↗ tangente ascendente | La función está creciendo |
| \(f'(a)<0\) | ↘ tangente descendente | La función está decreciendo |
| \(f'(a)=0\) | → tangente horizontal | En ese instante no sube ni baja |
Por ejemplo, para:
\[ f(x)=x^2 \]
su derivada es:
\[ f'(x)=2x \]
Entonces:
\[ f'(-2)=-4,\qquad f'(0)=0,\qquad f'(2)=4 \]
Esto significa que a la izquierda la curva tiene pendiente negativa, en \(x=0\) tiene pendiente cero y a la derecha tiene pendiente positiva.
4. Entonces, ¿cómo se hace una derivación?
Pensemos en una función sencilla:
\[ f(x)=3x^2+5x-4 \]
Primero identificamos cada término:
\[ 3x^2,\qquad 5x,\qquad -4 \]
Aplicamos las reglas:
\[ \frac{d}{dx}(3x^2)=6x \]\[ \frac{d}{dx}(5x)=5 \]
y una constante no cambia:
\[ \frac{d}{dx}(-4)=0 \]
Por tanto:
\[ \boxed{f'(x)=6x+5} \]
Pero aquí no debería terminar el ejercicio.
Si queremos conocer la pendiente en \(x=1\):
\[ f'(1)=6(1)+5 \]\[ \boxed{f'(1)=11} \]
Ahora calculamos el punto de la función:
\[ f(1)=3(1)^2+5(1)-4=4 \]
Por tanto:
\[ P=(1,4) \]
Y ya podemos interpretar:
En el punto \(P=(1,4)\), la recta tangente a la función tiene pendiente 11.
Eso es lo que necesitamos mostrar en el plano cartesiano.
5. La idea que quiero que quede grabada
Podemos resumir todo el proceso así:
\[ \boxed{\text{FUNCIÓN}} \]
↓
\[ f(x) \]
↓
DERIVAMOS
↓
\[ f'(x) \]
↓
ESCOGEMOS UN PUNTO \(x=a\)
↓
\[ f'(a) \]
↓
\[ \boxed{\text{PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE}} \]
↓
Interpretamos
\[ \begin{cases} f'(a)>0 & \text{crece}\\ f'(a)<0 & \text{decrece}\\ f'(a)=0 & \text{tangente horizontal} \end{cases} \]
Una forma sencilla de decirlo
La función \(f(x)\) nos dice dónde estamos.
La derivada \(f'(x)\) nos dice cómo estamos cambiando.
Y en una gráfica:
\[ \boxed{\text{DERIVADA EN UN PUNTO}=\text{PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE}} \]
Esta debería ser precisamente la estructura didáctica de cada uno de los 60 ejercicios del Word: no solamente calcular \(f'(x)\), sino terminar mostrando en un plano cartesiano la función, el punto, la tangente y el valor de su pendiente.
